Question

9．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．设点M是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交x轴、y轴于A、B两点上，且满足$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$．
（1）求证：线段AB的长是一定值；
（2）若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点（如图），求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率．

Answer 1

分析 （1）由椭圆长轴长为4，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出椭圆方程，由此利用$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，且A、B分别在x轴、y轴上，能证明AB为定值．
（2）设P（x₀，y₀），由AB∥PQ，得k_PQ=k_AB=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，${{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}$=4，直线PQ的方程为：y=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}x$，由此利用点到直线距离公式、弦长公式能求出结果．

解答 证明：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{4-3}=1$，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，…（3分）
设M（x₁，y₁），则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}$=1，
∵$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，且A、B分别在x轴、y轴上，∴A（$\frac{3}{2}{x}_{1}$，0），B（0，3y₁），
∴$A{B}^{2}=\frac{9}{4}{{x}_{1}}^{2}+9{{y}_{1}}^{2}=9（\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}）=9$，
∴AB=3为定值． …（7分）
解：（2）设P（x₀，y₀），∵AB∥PQ，
∴k_PQ=k_AB=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，${{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}$=4，
则直线PQ的方程为：y=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}x$，…（9分）
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}=\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+16{{y}_{0}}^{2}}}\\{{{y}_{0}}^{2}=\frac{16{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+16{{y}_{0}}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴PQ²=4OP²=4•$\frac{4{{x}_{0}}^{2}+16{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}16{y}_{0}{\;}^{2}}$=$\frac{64}{{{x}_{0}}^{2}+16{{y}_{0}}^{2}}$，
点M到直线PQ：2y₀x+x₀y=0的距离：d=$\frac{|2{x}_{0}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{0}|}{\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=$\frac{|3{x}_{1}{y}_{1}|}{2}$，…（12分）
∴S_{四边形MPNQ}=2S_△MPQ=2×$\frac{1}{2}$×PQ×d=$\frac{8}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+16{{y}_{0}}^{2}}}$•$\frac{3|{x}_{0}{y}_{0}|}{2}$
=12$\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+16{{y}_{0}}^{2}}}$=12$\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+16{{y}_{0}}^{2}}}$=12$\sqrt{\frac{（4-4{y}_{0}）^{2}{{y}_{0}}^{2}}{4-4{{y}_{0}}^{2}+16{{y}_{0}}^{2}}}$=12$\sqrt{\frac{-{{y}_{0}}^{4}+{{y}_{0}}^{2}}{3{{y}_{0}}^{2}+1}}$，
令t=3y₀²+1，t≥1，则$\frac{-{{y}_{0}}^{4}+{y}_{0}}{3{{y}_{0}}^{2}+1}$=$\frac{-（\frac{t-1}{3}）^{2}+\frac{t-1}{3}}{t}$=-$\frac{1}{9}（t+\frac{4}{t}-5）≤\frac{1}{9}$，
当且仅当t=2时，取等号，
即3y₀²+1=2时，（S_{四边形MPNQ}）_max=4，
此时${{y}_{0}}^{2}=\frac{1}{3}，{{x}_{0}}^{2}=\frac{8}{3}$，
∴${k}_{MN}=±\frac{\sqrt{2}}{4}$．…（16分）

点评 本题考查线段的长是一定值的证明，考查四边形面积的最大值的求出，并求出此时直线的斜率，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．