Question

18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为$\frac{1}{2}$的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|²+|PB|²为定值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆长轴长设出椭圆方程，利用点在椭圆上，求出b，即可得到椭圆方程．
（2）设出P，直线l的方程，联立直线与椭圆方程，设出AB坐标，通过韦达定理表示：|PA|²+|PB|²，化简求解即可．

解答 解：（1）因为C的焦点在x轴上且长轴长为4，
故可设椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（2＞b＞0），
因为点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在椭圆C上，所以$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，
解得b²=1，
所以，椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）证明：设P（m，0）（-2≤m≤2），由已知，直线l的方程是y=$\frac{x-m}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得，2x²-2mx+m²-4=0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程（*）的两个根，
所以有，x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
所以，|PA|²+|PB|²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=（x₁-m）²+$\frac{1}{4}$（x₁-m）²+（x₂-m）²+$\frac{1}{4}$（x₂-m）²
=$\frac{5}{4}$[（x₁-m）²+（x₂-m）²]
=$\frac{5}{4}$[x₁²+x₂²-2m（x₁+x₂）+2m²]
=$\frac{5}{4}$[（x₁+x₂）²-2m（x₁+x₂）-2x₁x₂+2m²]
=$\frac{5}{4}$[m²-2m²-（m²-4）+2m²]=5（定值）．
所以，|PA|²+|PB|²为定值．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值问题的化简求解，考查转化思想以及计算能力．