Question

16．记U={1，2，…，100}，对数列{a_n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S_T=0；若T={t₁，t₂，…，t_k}，定义S_T=a${\;}_{{t}_{1}}$+a${\;}_{{t}_{2}}$+…+a${\;}_{{t}_{k}}$．例如：T={1，3，66}时，S_T=a₁+a₃+a₆₆．现设{a_n}（n∈N^*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S_T=30．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S_T＜a_k+1；
（3）对任意正整数k（1≤k≤100），若T={1，2，…，k}，记数列{$\frac{1}{{S}_{T}}$}的前k项和为H，求证：H＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到所求通项；
（2）由新定义及等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证；
（3）方法一、运用等比数列的求和公式，求出$\frac{1}{{S}_{T}}$=$\frac{2}{{3}^{k}-1}$=$\frac{2（{3}^{k+1}-1）}{（{3}^{k}-1）（{3}^{k+1}-1）}$＜$\frac{2•{3}^{k+1}}{（{3}^{k}-1）（{3}^{k+1}-1）}$=3（$\frac{1}{{3}^{k}-1}$-$\frac{1}{{3}^{k+1}-1}$），再由裂项相消求和，即可得证；
证法二、由$\frac{2}{{3}^{k}-1}$-$\frac{1}{{3}^{k-1}}$=$\frac{2•{3}^{k-1}-{3}^{k}+1}{{3}^{k-1}（{3}^{k}-1）}$=$\frac{-{3}^{k-1}+1}{{3}^{k-1}（{3}^{k}-1）}$≤0，结合新定义和等比数列的求和公式，以及不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）由已知可得a_n=a₁q^n-1=a₁•3^n-1，
于是当T={2，4}时，S_T=a₂+a₄=3a₁+27a₁=30，
解得a₁=1，则a_n=3^n-1，n∈N^*；
（2）证明：T⊆{1，2，…，k}，a_n=3^n-1，n∈N^*，
可得S_T≤a₁+a₂+…+a_k=1+3+…+3^k-1=$\frac{1-{3}^{k}}{1-3}$=$\frac{{3}^{k}-1}{2}$＜3^k，
即S_T＜a_k+1；
（3）证法一、由S_T=a₁+a₂+…+a_k=$\frac{{3}^{k}-1}{2}$，
可得$\frac{1}{{S}_{T}}$=$\frac{2}{{3}^{k}-1}$=$\frac{2（{3}^{k+1}-1）}{（{3}^{k}-1）（{3}^{k+1}-1）}$＜$\frac{2•{3}^{k+1}}{（{3}^{k}-1）（{3}^{k+1}-1）}$=3（$\frac{1}{{3}^{k}-1}$-$\frac{1}{{3}^{k+1}-1}$），
则H＜3（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{26}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}-1}$-$\frac{1}{{3}^{k+1}-1}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{{3}^{K+1}-1}$＜$\frac{3}{2}$．
证法二、$\frac{2}{{3}^{k}-1}$-$\frac{1}{{3}^{k-1}}$=$\frac{2•{3}^{k-1}-{3}^{k}+1}{{3}^{k-1}（{3}^{k}-1）}$=$\frac{-{3}^{k-1}+1}{{3}^{k-1}（{3}^{k}-1）}$≤0，
由S_T=a₁+a₂+…+a_k=$\frac{{3}^{k}-1}{2}$，可得$\frac{1}{{S}_{T}}$=$\frac{2}{{3}^{k}-1}$≤$\frac{1}{{3}^{k-1}}$，
则H≤$\frac{1-\frac{1}{{3}^{k}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）＜$\frac{3}{2}$．
故H＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式的证明，注意运用放缩法和不等式的性质，属于中档题．