Question

已知函数定义域为，设.

（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；

（2）求证：；

（3）求证：对于任意的，总存在，满足，并确定这样的的个数.

 

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先通过对求导易得在，上递增，在上递减，从而要使在上为单调函数，须满足；（2）根据（1）中得到的的单调性可知，，从而问题等价于证明，而，显然成立，从而得证；（3）根据（1）可知，方程等价于，考虑构造函数，从而问题等价于证明方程在上有解，并讨论解的个数，这是一个关于的一元二次方程，考虑端点值，，从而需对的取值分类讨论，对其端点值的正负性分类讨论，结合二次函数的图象和性质，即可求证.

试题解析：（1）∵，

由或，由，

∴在，上递增，在上递减，

又∵在上为单调函数，则；

（2）∵在，上递增，在上递减，∴在处取得极小值，

又∵，而在上的最小值为为，

从而当时，，即；

（3）∵，∴，即为，

令，从而问题转化为证明方程在上有解，并讨论解的个数，……….7分，

∵，，

∴①当或时，∴在上有解，且只有一解，

②当时，且，又∵，

∴在上有解，且有两解，

③当时，或，∴在上有且只有一解，

当时，或，

∴在上也只有一解，

综上所述，对任意的，总存在，满足，

且当或时，有唯一的符合题意.

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.根的存在性与根的个数判断.