Question

7．在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a=2bsin A，则cos A-sin C的取值范围是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，由sinA≠0，可得sinB，进而可求B，利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cos A-sin C=sin（$\frac{π}{6}$-A），结合A的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：在锐角△ABC中，∵a=2bsin A，
∴由正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，由sinA≠0，可得：sinB=$\frac{1}{2}$，
∵B为锐角，可得：B=$\frac{π}{6}$，
∴cos A-sin C=cosA-sin（π-A-B）=cosA-sin（$\frac{5π}{6}$-A）=$\frac{1}{2}$cosA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=sin（$\frac{π}{6}$-A），
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：$\frac{π}{6}$-A∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），
∴利用正弦函数的图象和性质可得：sin（$\frac{π}{6}$-A）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∴cos A-sin C=sin（$\frac{π}{6}$-A）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
故答案为：（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．