Question

15．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且满足BD•BE=BA•BF．求证：
（1）△ADB∽△EFB；
（2）∠DFB+∠DBC=90°．

Answer 1

分析 （1）利用BD•BE=BA•BF，可得$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BF}{BE}$，从而可知△ADB∽△EFB，即可得到结论；
（2）先证明E、F、A、D四点共圆，从而可得∠DFB=∠AEB，利用AB是⊙O的直径，可证结论成立．

解答 证明：（1）连接AD，则∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°
在△ADB和△EFB中，
∵BD•BE=BA•BF，
∴$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BF}{BE}$…（2分）
又∠DBA=∠EBF，
∴△ADB∽△EFB．…（5分）
（2）在△ADB中，∠ADB=∠ADE=90°
又∠EFB=90°∴E、F、A、D四点共圆；                   …（7分）
∴∠DFB=∠AEB，…（9分）
又AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，
∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°．…（10分）

点评 本题考查三角形的相似，考查四点共圆，掌握三角形相似的判定方法是关键，属于中档题．