已知点R(x0.y0)在Γ:y2=4x上.以R为切点的Γ的切线的斜率为$\frac{2}{{y} {0}}$．过Γ外一点A作Γ的两条切线AB.AC.切点为B.C.作平行于BC的Γ的切线分别交AB.AC于点M.N．(1)求点B.C的坐标,(2)若直线AD与BC的交点为E.证明D是AE的中点,(3)对于点A在Γ外.可以证明(2)的结论恒成立．若将由过Γ外一点的两条切线及第� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

已知点R（x₀，y₀）在Γ：y²=4x上，以R为切点的Γ的切线的斜率为$\frac{2}{{y}_{0}}$．过Γ外一点A（-2，-1）作Γ的两条切线AB、AC，切点为B、C，作平行于BC的Γ的切线（D为切点）分别交AB、AC于点M、N（如图）．
（1）求点B、C的坐标；
（2）若直线AD与BC的交点为E，证明D是AE的中点；
（3）对于点A在Γ外，可以证明（2）的结论恒成立．若将由过Γ外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切点的连线）所围成的三角形叫“切线三角形”如△AMN，将M、N作为Γ外一点，再作“切线三角形”，并继续依这样的方法作下去…，利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及BC所围成的阴影部分面积T．

分析（1）设B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），C（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），由题意可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，计算即可得到所求B，C的坐标；
（2）求出BC的斜率，设D（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），求得切线的斜率，可得D的坐标，求得直线BC的方程，运用中点坐标公式可得A关于D的对称点在直线BC上，即可得证；
（3）由题意可得，MN为三角形ABC的中位线，且E为BC的中点，D为MN的中点，求得三角形ABC的面积，再由三角形的面积之比与对应边的比的关系，可得由抛物线外作出的“切线三角形”的面积构成以$\frac{1}{4}$S为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，运用无穷递缩等比数列的求和公式，可得所有面积和，即可得到所求面积T．

解答解：（1）设B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），C（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
由题意可得以B为切点的Γ的切线的斜率为$\frac{2}{{y}_{1}}$，
由两点的斜率公式可得k_AB=$\frac{{y}_{1}+1}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}+2}$=$\frac{2}{{y}_{1}}$，
化为y₁²+2y₁-8=0，解得y₁=2（-4舍去），
同理可得y₂=-4，
可得B（1，2），C（4，-4）；
（2）证明：由（1）可得k_BC=$\frac{2+4}{1-4}$=-2，
设D（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），可得$\frac{2}{m}$=-2，解得m=-1，
则D（$\frac{1}{4}$，-1），
直线BC的方程为y-2=-2（x-1），
可得2x+y-4=0，
由A（-2，-1）关于D的对称点为（$\frac{1}{2}$+2，-2+1），即为（$\frac{5}{2}$，-1），
满足直线BC的方程，则D是AE的中点；
（3）由题意可得，MN为三角形ABC的中位线，且E为BC的中点，
D为MN的中点，
由|BC|=$\sqrt{（1-4）^{2}+（2+4）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
A到直线BC的距离为d=$\frac{|-4-1-4|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{9}{\sqrt{5}}$，
可得△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$d•|BC|=$\frac{27}{2}$．
由MN为△ABC的中位线，可得S_△AMN=$\frac{1}{4}$S，
过M的切线为MB，MD，与BD平行的切线设为FG，
可得S_△MFG=$\frac{1}{4}$S_△MBD=$\frac{1}{4}$S_△MAD=$\frac{1}{8}$S_△MAN=$\frac{1}{32}$S，
设过N的切线为NC，ND，与CD平行的切线设为KL，
同理可得S_△NKL=$\frac{1}{32}$S，
即有作出的两个“切线三角形”的面积和为$\frac{1}{16}$S，
同理可得，过F，G，K，L作出的四个“切线三角形”的面积相等，
均为$\frac{1}{256}$S，其和为$\frac{1}{64}$S，
即所有“切线三角形”的面积和为：$\frac{1}{4}$S+$\frac{1}{16}$S+$\frac{1}{64}$S+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$S+…
=$\frac{\frac{1}{4}S}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}$S=$\frac{1}{3}$×$\frac{27}{2}$=$\frac{9}{2}$；
则抛物线及BC所围成的阴影部分面积为S-$\frac{1}{3}$S=$\frac{2}{3}$S=$\frac{2}{3}$×$\frac{27}{2}$=9．