Question

已知函数f（x=（x-2）（|x-2|-2）+2．
（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）对任意的x₁、x₂∈[1，a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤3，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用去绝对值的方法，讨论①若a≤2，②若a＞2时，且a≤3，③若a＞3，结合二次函数的单调性，解方程即可得到；
（2）任意的x₁、x₂∈[1，a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤3，等价为|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min≤3，讨论①若a≤2，②若a＞2时，且a≤3，③若a＞3，结合二次函数的单调性求得最值，解不等式即可得到．

解答： 解：（1）函数f（x）=（x-2）（|x-2|-2）+2，
当x≥2时，f（x）=（x-2）（x-4）+2=x²-6x+10，
则f（x）在2≤x≤3上递减，x＞3时递增；
当x＜2时，f（x）=-x（x-2）+2=-x²+2x+2，
则f（x）在1＜x＜2时递减，x＜1时递增．
由于函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，
则有①若a≤2，区间[1，a]则为减区间，f（1）=a，f（a）=1，
则-1+2+2=a，-a²+2a+2=1，解得，a无解．
②若a＞2时，且a≤3，区间[1，a]则为减区间，f（1）=a，f（a）=1，
则3=a，a²-6a+10=1，解得，a=3．
③若a＞3，则在[1，2]递减，[2，3]递减，（3，a]递增，
则有f（3）最小且为1，由f（a）=a，或f（1）=a，
解得，a=3，（舍去）或a=2（舍去）
或5，a=5有f（5）=5成立．
不成立．
故a=3或5；
（2）任意的x₁、x₂∈[1，a]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤3，
等价为|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min≤3，
①若a≤2，则区间[1，a]则为减区间，则有f（1）-f（a）=3-（-a²+2a+2）
=a²-2a+1≤3，解得，1-

3

≤a≤2；
②若a＞2时，且a≤3，区间[1，a]则为减区间，则有f（1）-f（a）=3-（a²-6a+10）
≤3，解得，2＜a≤3；
③若a＞3，则在[1，2]递减，[2，3]递减，（3，a]递增，
则f（3）最小且为1，由于f（1）=3，f（3+

2

）=3，
若a≤3+

2

，则最大为f（1），则3-1＜3成立，
若a＞3+

2

，则有最大为f（a），由a2-6a+10-3≤3，解得，3+

2

≤a≤3+

5

．
综上可得，a的取值范围是：1-

3

≤a≤3+

5

．

点评：本题考查绝对值函数的定义域和值域问题，转化为二次函数的值域问题，考查分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．