Question

20．为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：

（1）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；
（2）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中哪个学校地理成绩较好？（不要求计算，要求写出理由）；
（3）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．

Answer 1

分析 （1）由每位同学被抽取的概率均为0.15，能求出高三年级学生总数．
（2）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70 至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小．从而乙校学生的成绩较好．
（3）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为：1、2、3、4，乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6．利用列举法能求出至少抽到一名乙校学生的概率．

解答 解：（1）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，
则高三年级学生总数$M=\frac{30}{0.15}=200$…（2分）
（2）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70 至80之间，
乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小．
所以，乙校学生的成绩较好．   …．…（6分）
（3）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为：1、2、3、4，
乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6．
则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：
（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、
（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），总共有15个基本事件．
记“乙校包含至少有一名学生成绩不及格”的事件为A，
则A包含9个基本事件，分别为：
（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）．
所以，至少抽到一名乙校学生的概率$P（A）=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$…（12分）

点评 本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，考查茎叶图、古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．