Question

12．已知函数f（x）=$\frac{mx}{lnx}$，曲线y=f（x）在点（e²，f（e²））处的切线与直线2x+y=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调减区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-$\frac{k{x}^{2}}{x-1}$无零点，求k的取值范围．．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得m=2，求得f（x）的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）可得g（x），函数g（x）无零点，即要$\frac{2}{lnx}=\frac{kx}{x-1}$在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即要$klnx-\frac{2（x-1）}{x}=0$在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数$h（x）=klnx-\frac{2（x-1）}{x}⇒h'（x）=\frac{kx-2}{x^2}$．对k讨论，运用单调性和函数零点存在定理，即可得到k的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=\frac{mx}{lnx}$的导数为$f'（x）=\frac{m（lnx-1）}{{{{（lnx）}^2}}}$，
又由题意有：$f'（{e^2}）=\frac{1}{2}$$⇒\frac{2m}{4}=\frac{1}{2}⇒m=2$，
故$f（x）=\frac{2x}{lnx}$．
此时$f'（x）=\frac{2（lnx-1）}{{{{（lnx）}^2}}}$，由f'（x）≤0⇒0＜x＜1或1＜x≤e，
所以函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e]．
（Ⅱ） $g（x）=f（x）-\frac{{k{x^2}}}{x-1}$$⇒g（x）=x（\frac{2}{lnx}-\frac{kx}{x-1}）$，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），
要函数g（x）无零点，即要$\frac{2}{lnx}=\frac{kx}{x-1}$在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解，
亦即要$klnx-\frac{2（x-1）}{x}=0$在x∈（0，1）∪（1，+∞）内无解．
构造函数$h（x）=klnx-\frac{2（x-1）}{x}⇒h'（x）=\frac{kx-2}{x^2}$．
①当k≤0时，h'（x）＜0在x∈（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，
所以函数h（x）在（0，1）内单调递减，h（x）在（1，+∞）内也单调递减．
又h（1）=0，所以在（0，1）内无零点，
在（1，+∞）内也无零点，故满足条件；                     
②当k＞0时，$h'（x）=\frac{kx-2}{x^2}⇒h'（x）=\frac{{k（x-\frac{2}{k}）}}{x^2}$，
（1）若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，
在$（1，\frac{2}{k}）$内也单调递减，在$（\frac{2}{k}，+∞）$内单调递增．
又h（1）=0，所以在（0，1）内无零点；
易知$h（\frac{2}{k}）＜0$，而$h（{e^{\frac{2}{k}}}）=k•\frac{2}{k}-2+\frac{2}{{{e^{\frac{2}{k}}}}}＞0$，
故在$（\frac{2}{k}，+∞）$内有一个零点，所以不满足条件；
（2）若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．
又h（1）=0，所以x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点，满足条件；
（3）若k＞2，则函数h（x）在$（0，\frac{2}{k}）$内单调递减，在$（\frac{2}{k}，1）$内单调递增，
在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，所以在$（\frac{2}{k}，1）$及（1，+∞）内均无零点．
又易知$h（\frac{2}{k}）＜0$，而h（e^-k）=k•（-k）-2+2e^k=2e^k-k²-2，
又易证当k＞2时，h（e^-k）＞0，
所以函数h（x）在$（0，\frac{2}{k}）$内有一零点，故不满足条件．
综上可得：k的取值范围为：k≤0或k=2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数方程的转化思想的运用，分类讨论的思想方法，以及函数零点存在定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．