Question

15．已知P（1，1）为椭圆$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$内一定点，经过P引一弦，使此弦在P（1，1）点被平分，则此弦所在的直线方程是2x+y-3=0．

Answer 1

分析 设此弦的端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{2}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0．
利用中点坐标公式与斜率计算公式可得斜率，即可得出．

解答 解：设此弦的端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{2}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0．
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，∴${x_1}-{x_2}+\frac{{{y_1}-{y_2}}}{2}=0$，∴$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-2$，
∴此弦所在的直线方程为y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．
故答案为：2x+y-3=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式与斜率计算公式、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．