题目内容
4．已知函数f（x）=（1-2x）（1+x）6的导函数f′（x）=a0+a1x+a2x2+…+a6x6．（1）求a3；
（2）求a0+$\frac{1}{3}$a1+$\frac{1}{3^2}$a2+…+$\frac{1}{3^6}$a6．
分析 （1）先根据导数的运算法则求导，再根据二项式定理可得，
（2）a0+$\frac{1}{3}$a1+$\frac{1}{3^2}$a2+…+$\frac{1}{3^6}$a6=f（$\frac{1}{2}$）=0，问题得以解决．
解答 解：（1）f'（x）=-2（1+x）6+6（1-2x）（1+x）5=2（2-7x）（1+x）5
因而${a_3}=4C_6^2×（-3）+4C_6^3=-100$；
（2）由已知可得：a0+$\frac{1}{3}$a1+$\frac{1}{3^2}$a2+…+$\frac{1}{3^6}$a6=f（$\frac{1}{3}$）=0．
点评 本题考查了导数的运算法则和二项式定理，属于基础题．
练习册系列答案
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