题目内容
已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2-a2）B+（a2+b2）C=0分析：可先设siny=-
，cosy=
，通过①可得x=y+kπ，进而可求出sin2x和cos2x代入 ②即可得证．
| b | ||
|
| a | ||
|
解答：证明：设siny=-
，cosy=
则①可写成cosysinx-sinycosx=0，
∴sin（x-y）=0∴x-y=kπ（k为整数），
∴x=y+kπ
又sin2x=sin2（y+kπ）=sin2y=2sinycosy=-
cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=
代入②，
得-
+
=C，
∴2abA+（b2-a2）B+（a2+b2）C=0．
| b | ||
|
| a | ||
|
则①可写成cosysinx-sinycosx=0，
∴sin（x-y）=0∴x-y=kπ（k为整数），
∴x=y+kπ
又sin2x=sin2（y+kπ）=sin2y=2sinycosy=-
| 2ab |
| a2+b2 |
cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=
| a2-b2 |
| a2+b2 |
得-
| 2abA |
| a2+b2 |
| (a2-b2)B |
| a2+b2 |
∴2abA+（b2-a2）B+（a2+b2）C=0．
点评：本题主要考查三角函数恒等式的证明．证明此类问题时应考虑：异名化同名，异角化同角，公式的正用、逆用、变形用．
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