Question

9．在△ABC中，c=2$\sqrt{2}$，a＞b，C=$\frac{π}{4}$，tanAtanB=6，试求a，b及△ABC的面积．

Answer 1

分析 利用两角和的正切公式求得tanA、tanB的值，可得sinA和sinB的值，再利用正弦定理求得a，b的值以及△ABC的面积．

解答 解：△ABC中，∵c=2$\sqrt{2}$，a＞b，C=$\frac{π}{4}$，∴A+B=$\frac{3π}{4}$，又tanAtanB=6，tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-1•（1-6）=5，
∴tanA=3=$\frac{sinA}{cosA}$，tanB=2=$\frac{sinB}{cosB}$，∴A、B都是锐角，
∵sin²A+cos²A=1，sin²B+cos²B=1，∴sinA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
再由正弦定理可得$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，即 $\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{a}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$=$\frac{b}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$，∴a=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，b=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{24}{5}$．

点评 本题主要考查两角和的正切公式，正弦定理的应用，属于中档题．