Question

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且过点$P（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l过点E（-1，0）且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|=2|EB|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a²=4，b²=1，进而得到椭圆的方程；
（2）设l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，化简整理可得k的方程，解得k，即可得到所求直线的方程

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=1，c=$\sqrt{3}$，∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
（2）由已知，①若直线l的斜率不存在，则过点E（-1，0）的直线l的方程为x=-1，
此时A（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），显然|EA|=2|EB|不成立．
②若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x+1）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
由△=（8k²）²-4（4k²+1）（4k²-4）=48k²+16＞0
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∵|EA|=2|EB|，
∴$\overrightarrow{EA}$=-2$\overrightarrow{EB}$，
∴x₁+2x₂=-3，
联立解得k=±$\frac{\sqrt{15}}{6}$，
故直线l的方程为$\sqrt{15}$x+6y+$\sqrt{15}$=0或$\sqrt{15}$x-6y+$\sqrt{15}$=0

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线方程的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．