Question

15．设a₁=1，a_n+1=$\sqrt{{a_n}^2-2{a_n}+2}$+1
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想通项公式．
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a_n+1=$\sqrt{{a_n}^2-2{a_n}+2}$+1，又a₁1=，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值，并猜想${a_n}=\sqrt{n-1}+1$．
（2）检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（1）${a_2}=\sqrt{{a_1}^2-2{a_1}+2}+1$=2；${a_3}=\sqrt{{a_2}^2-2{a_2}+2}+1$=$\sqrt{2}+1$；${a_4}=\sqrt{{a_3}^2-2{a_3}+2}+1$=$\sqrt{3}+1$；猜想${a_n}=\sqrt{n-1}+1$；
（2）下面用数学归纳法证明：
①当n=1时　满足猜想；
②假设n=k时，${a_k}=\sqrt{k-1}+1$成立，
则${a_{k+1}}=\sqrt{{a_k}^2-2{a_k}+2}+1$=$\sqrt{{{（{a_k}-1）}^2}+1}+1$=$\sqrt{{{（\sqrt{k-1}）}^2}+1}+1$=$\sqrt{k}+1$=$\sqrt{（k+1）-1}+1$，
所以当n=k+1时，${a_{k+1}}=\sqrt{（k+1）-1}+1$也成立；
综合①②${a_n}=\sqrt{n-1}+1$对n∈N^*成立．

点评 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．