Question

14．在如图所示的多面体ABCDEF中，ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，四边形ADEF为等腰梯形，EF∥AD，已知AE⊥EC，AB=AF=EF=2，AD=CD=4．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADEF；
（2）求直线CF与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）对于等腰梯形ADEF，分别过点E，F作EM⊥AD，FN⊥AD，垂足分别为M，N．可得四边形EFNM为矩形．由DE=AF=EF=2，可得AN=DM=1，NM=2．可得：AE²+DE²=AD²，因此AE⊥ED．已知AE⊥EC，可得AE⊥平面CDE．于是AE⊥CD，可得CD⊥平面ADEF．即可证明：平面ABCD⊥平面ADEF．
（2）如图所示，分别取AD，EF，BC的中点O，G，Q．分别以OA，OQ，OG为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．设平面AEC的法向量为：$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，设直线CF与平面EAC所成角为θ，可得sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AF}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AF}|}$．

解答 （1）证明：对于等腰梯形ADEF，分别过点E，F作EM⊥AD，FN⊥AD，垂足分别为M，N．
则四边形EFNM为矩形．
∵DE=AF=EF=2，∴AN=DM=1，NM=2．
∴EM=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，∴AE²=${3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}$=12．
∴AE²+DE²=12+4=16=AD²，
∴∠AED=90°，∴AE⊥ED．
又AE⊥EC，EC∩ED=E，
∴AE⊥平面CDE．∴AE⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADEF．
又CD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADEF．
（2）解：如图所示，分别取AD，EF，BC的中点O，G，Q．
分别以OA，OQ，OG为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则O（0，0，0），A（2，0，0），C（-2，4，0），F（1，0，$\sqrt{3}$），E（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AE}$=（-3，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（-4，4，0），$\overrightarrow{AF}$=（-1，0，$\sqrt{3}$）．
设平面AEC的法向量为：$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-3x+\sqrt{3}z=0}\\{-4x+4y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\sqrt{3}$）．
设直线CF与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AF}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}×2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了空间位置关系、线面面面垂直的判定与性质定理、数量积的运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．