Question

13．在等比数列{a_n}中，已知a₄=8a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|a_n-4|}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）设等比数列{a_n}的公比为q，a₄=8a₁，可得${a}_{1}{q}^{3}$=8a₁，解得q．又a₁，a₂+1，a₃成等差数列，可得2（a₂+1）=a₁+a₃，当然解得a₁，利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）n=1时，a₁-4=-2＜0，可得S₁=2．当n≥2时，a_n-4≥0．数列{|a_n-4|}的前n项和S_n=2+（a₂-4）+（a₃-4）+…+（a_n-4），再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₄=8a₁，∴${a}_{1}{q}^{3}$=8a₁，a₁≠0，解得q=2．
又a₁，a₂+1，a₃成等差数列，∴2（a₂+1）=a₁+a₃，∴2（2a₁+1）=a₁（1+2²），解得a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）n=1时，a₁-4=-2＜0，∴S₁=2．
当n≥2时，a_n-4≥0．
∴数列{|a_n-4|}的前n项和S_n=2+（a₂-4）+（a₃-4）+…+（a_n-4）
=2+2²+2³+…+2ⁿ-4（n-1）=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-4（n-1）=2ⁿ⁺¹-4n+2．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n+1}-4n+2，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．