Question

20．已知e是某种圆锥曲线的离心率，给定两个命题p：lg（e²-2e-2）≥0，命题q：$|{1-\frac{e}{2}}|≥1$，若e使得命题“p且q”为假，“p或q”为真，判断此圆锥曲线类型并说明你的理由．

Answer 1

分析 据已知命题p和命题q一真一假．分类讨论求出满足条件的e的范围，结合圆锥曲线的定义，可得答案．

解答 解：∵命题“p且q”为假，“p或q”为真，
∴命题p和命题q一真一假．
①当e使得p假q真时，
则e应满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{e＞o}\\{lg（{e^2}-2e-2）＜0}\\{|{1-\frac{e}{2}}|≥1}\end{array}}\right.$
此不等式组解集为∅．
②当e使得p真q假时，
则e应满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{e＞0}\\{lg（{e^2}-2e-2）≥0}\\{|{1-\frac{e}{2}}|＜1}\end{array}}\right.⇒$
解之得   3≤e＜4
∵e∈[3，4），
∴e＞1，
因为圆锥曲线中只有双曲线的离心率大于1，
所以此曲线是双曲线．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，圆锥曲线的离心率，难度中档．