Question

19．某中学对男女学生是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者对学校高三年级随机抽取了100名学生，调查结果如表：

	喜爱	不喜爱	总计
男学生	60		80
女学生
总计	70	30

（1）完成如表，并根据表中数据，判断是否有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”；
（2）从以上被调查的学生中以性别为依据采用分层抽样的方式抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取5名学生去某古典音乐会的现场观看演出，求正好有X个男生去观看演出的分布列及期望．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010
k0	2.706	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）列出2×2列联表，求出K²的值，判断有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”；
（2）先确定X的取值，分别求其概率，求出分布列和数学期望．

解答 解：（1）2×2列联表

	喜爱	不喜爱	总计
男学生	60	20	80
女学生	10	10	20
总计	70	30	100

∴K²=$\frac{100×（60×10-20×10）^{2}}{70×30×80×20}$=$\frac{100}{21}$≈4.762＞3.841，
∴有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”；
（2）由题意，10名学生中有8名男生和2名女生，故X的取值为3，4，5．
P（X=3）=$\frac{{C}_{8}^{3}{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{2}{9}$，P（X=4）=$\frac{{C}_{8}^{4}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{5}{9}$，P（X=5）=$\frac{{C}_{8}^{5}{C}_{2}^{0}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{2}{9}$，
X的分布列

X	3	4	5
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$

期望EX=3×$\frac{2}{9}$+4×$\frac{5}{9}$+5×$\frac{2}{9}$=4．

点评 本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，求X的分布列及数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．