Question

如图，动点M到两定点A（-1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C。

（1）求轨迹C的方程；
（2）设直线y=-2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围。

Answer 1

解：（1）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0 当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）
当∠MBA≠90°时，x≠2，
由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，
化简可得3x²-y²-3=0 而
点（2，±3）在曲线3x²-y²-3=0上
综上可知，轨迹C的方程为3x²-y²-3=0（x＞1）；
（2）直线y=-2x+m与3x²-y²-3=0（x＞1）联立，
消元可得x²-4mx+m²+3=0①
∴①有两根且均在（1，+∞）内
设f（x）=x²-4mx+m²+3，
∴，
∴m＞1，m≠2
设Q，R的坐标分别为（x_Q，y_Q），（x_R，y_R），
∵|PQ|＜|PR|，
x_R=2m+，x_Q=2m-，
∴==
∵m＞1，且m≠2
∴，且
∴，且
∴的取值范围是（1，7）∪（7，7+4）。