Question

18．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数f（x）=x-[x]．给出下列五个命题：
①函数f（x）的定义域是R，值域为[0，1]；       
②方程$f（x）=\frac{1}{2}$有无数个解；
③函数f（x）是周期函数；                      
④函数f（x）是增函数．
⑤函数$F（x）=f（x）+\frac{1}{2}x-1$有3个零点
其中正确命题的序号有②③⑤．

Answer 1

分析 可求出函数{x}的取值范围，即值域，可判断①不对；
令{x}=x-[x]=$\frac{1}{2}$，可求出对应的x的值，且对应的有无数多个，故②正确；
根据周期函数的定义，可验证函数{x}是周期为1的函数，从而可判③正确；
根据函数{x}的性质和单调性可知{x}在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④不正确

解答 解：函数{x}的定义域是R，但是0≤x-[x]＜1，故函数{x}的值域为[0，1），故①不对；
∵{x}=x-[x]=$\frac{1}{2}$，∴x=[x]+$\frac{1}{2}$，∴x=1.5，2.5，3.5，…，应为无数多个，故②正确；
∵{x+1}=x+1-[x+1]=x-{x}={x}，故函数{x}是周期为1的周期函数，故③正确；
函数{x}在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④不正确；
函数$F（x）=f（x）+\frac{1}{2}x-1$有3个零点，即f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+1有3个零点，
函数函数f（x）和y=-$\frac{1}{2}$x²+1的图象，如图示：
，
故⑤正确；
故答案为：②③⑤．

点评 本题主要考查函数的基本性质--定义域、值域、单调性、周期性．考查对基础知识的掌握程度和灵活运用．