Question

14．已知函数 f（x）=a（|sinx|+|cosx|）-sin2x-1，a∈R．
（1）写出函数 f（x）的最小正周期（不必写出过程）；
（2）求函数 f（x）的最大值；
（3）当a=1时，若函数 f（x）在区间（0，kπ）（k∈N^*）上恰有2015个零点，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由周期函数的定义．
（2）换元，由二次函数的性质得到最值．
（3）由一个周期内的情况类比出2015个零点的情况．

解答 解：（1）函数 f（x）的最小正周期为π．
（2）∵f（x）=a（|sinx|+|cosx|）-sin2x-1，a∈R
=a$\sqrt{1+|sin2x|}$-sin2x-1=a$\sqrt{1+|sin2x|}$-（sin2x+1），
令t=$\sqrt{1+|sin2x|}$，t∈[0，$\sqrt{2}$]，
∴y=at-t²=-（t-$\frac{1}{2}$a）²+$\frac{1}{4}$a²，
①$\frac{1}{2}$a≤0时，在t=0处，y_max=0，
②0＜$\frac{1}{2}$a＜$\sqrt{2}$时，在t=$\frac{1}{2}$a处，y_max=$\frac{1}{4}$a²，
③$\frac{1}{2}$a≥$\sqrt{2}$时，在t=$\sqrt{2}$处，y_max=$\sqrt{2}$a-2．
（3）当a=1时，f（x）=$\sqrt{1+|sin2x|}$-sin2x-1，
∵当且仅当sin2x=0时，f（x）=0，
∴x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点分别为$\frac{π}{2}$，π，
∴2015=2×1007+1，
∴k=1008．

点评 本题主要考查周期函数的定义，换元，二次函数的性质以及类比．