Question

8．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角为45°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BD，AC⊥DE，由此能证明AC⊥平面BDE．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-BE-D的大小．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AC⊥BD，
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵BE与平面ABCD所成角为45°，∴DE=BD=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，
则D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2$\sqrt{2}$），F（2，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{BE}$=（-2，-2，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BF}$=（0，-2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-2x-2y+2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-2a-2b+2\sqrt{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=-2b+\sqrt{2}c=0}\end{array}\right.$，取c=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1-1+0=0，
∴二面角F-BE-D的大小为$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．