Question

椭圆C₁的中心在原点，过点（0，

3

），且右焦点F₂与圆C₂：（x-1）²+y²=

1

4

的圆心重合．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过点F₂的直线l交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线l，使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点F₁？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆和圆的标准方程及其性质即可得出；
（2）以MN为直径的圆过F₁?

F1M

•

F1N

=0．分类讨论直线l的斜率，当斜率存在时，把直线l的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用向量的数量积运算即可得出．

解答：解：（1）依题意得F₂（1，0），∴c=1，又过点(0，

3

)，∴b=

3

．
因此a²=b²+c²=4．
故所求的椭圆C₁ 的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）知F₁（-1，0）．以MN为直径的圆过F₁?

F1M

•

F1N

=0．
①若直线l的斜率不存在．易知N （1，

3

2

），M （1，-

3

2

）．

F1N

•

F1M

=(2，

3

2

)•(2，-

3

2

)=4-

9

4

≠0，不合题意，应舍去．
②若直线l的斜率k存在，可设直线为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．

F1M

•

F1N

=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂
=x₁x₂+x₁+x₂+k（x₁-1）•k（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²（*）
联立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

 消去y得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

 代入（*）．
得：

F1M

•

F1N

=

7k2-9

3+4k2

．
由

F1M

•

F1N

=0得：k=±

3 7

7

．
∴直线l的方程为y=±

3 7

7

(x-1)．

点评：熟练掌握椭圆和圆的标准方程及其性质、MN为直径的圆过F₁?

F1M

•

F1N

=0、分类讨论思想方法、直线与椭圆相交问题转化为把直线l的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系、向量的数量积运算等是解题的关键．