Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，点M在椭圆上，且满足MF₂⊥x轴，$|{M{F_1}}|=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+2交椭圆于A，B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）运用离心率公式和a，b，c的关系，以及两点的距离公式，解方程可得椭圆方程；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将y=kx+2代入椭圆，可得x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得三角形的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：（I）由已知得$\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，又由a²=b²+c²，
可得a²=3c²，b²=2c²，
得椭圆方程为$\frac{x^2}{{3{c^2}}}+\frac{y^2}{{2{c^2}}}=1$，
因为点M在第一象限且MF₂⊥x轴，
可得M的坐标为$（{c，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}c}）$，
由$|{{F_1}M}|=\sqrt{4{c^2}+\frac{4}{3}{c^2}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，解得c=1，
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将y=kx+2代入椭圆，可得（3k²+2）x²+12kx+6=0，
由△＞0，即144k²-24（3k²+2）＞0，可得3k²-2＞0，
则有${x_1}+{x_2}=-\frac{12k}{{2+3{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{6}{{2+3{k^2}}}$
所以$|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{18{k^2}-12}}}{{3{k^2}+2}}$，
因为直线y=kx+2与轴交点的坐标为（0，2），
所以△OAB的面积$S=\frac{1}{2}×2×|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{（18{k^2}-12）}}}{{3{k^2}+2}}=\frac{{2\sqrt{6×（3{k^2}-2）}}}{{3{k^2}+2}}$，
令3k²-2=t，由①知t∈（0，+∞），
可得$S=2\frac{{\sqrt{6t}}}{t+4}=2\sqrt{\frac{6t}{{{t^2}+8t+16}}}=2\sqrt{\frac{6}{{t+\frac{16}{t}+8}}}≤\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
所以t=4时，面积最大为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．