Question

6．已知函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-a，且x=-$\frac{π}{12}$是方程f（x）=0的一个解．
（1）求实数a的值及函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若关于x的方程f（x）=b在区间（0，$\frac{7π}{6}$）上恰有三个不相等的实数根x₁，x₂，x₃，直接写出实数b的取值范围及x₁+x₂+x₃的取值范围（不需要给出解题过程）

Answer 1

分析 （1）根据f（-$\frac{π}{12}$）=0求出a的值，再化简f（x），求出f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）的单调递减区间是；
（3）根据函数f（x）的图象与性质，结合题意，即可得出b与x₁+x₂+x₃的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-a，且x=-$\frac{π}{12}$是方程f（x）=0的一个解，
∴f（-$\frac{π}{12}$）=0，
即2cos（-$\frac{π}{12}$）sin（-$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$）-a=0，
解得a=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$
=2cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-$\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z；
∴函数f（x）的单调递减区间是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，（k∈Z）；
（3）关于x的方程f（x）=b在区间（0，$\frac{7π}{6}$）上恰有三个不相等的实数根x₁，x₂，x₃，
则实数b的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1）；
x₁+x₂+x₃的取值范围是（$\frac{4π}{3}$，$\frac{3π}{2}$）．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题，是综合性题目．