Question

已知m∈R，函数f（x）=

|2x+1|，x＜1 log2(x-1)，x＞1

g（x）=x²-2x+2m-1，若函数y=f（g（x））-m有6个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（0，

  3

  5

  ）
• B、(

  3

  5

  ，

  3

  4

  )
• C、(

  3

  4

  ，1)
• D、（1，3）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由于函数f（x）=

|2x+1|，x＜1 log2(x-1)，x＞1

，g（x）=x²-2x+2m-1．可得当g（x）=（x-1）²+2m-2＜1，即（x-1）²＜3-2m时，y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|．当g（x）=（x-1）²+2m-2＞1，即（x-1）²＞3-2m时，则y=f（g（x））=log2[（x-1）2+2m-3]．再对m分类讨论，利用直线y=m与函数
y=f（g（x））图象的交点必须是6个即可得出．

解答：解：∵函数f（x）=

|2x+1|，x＜1 log2(x-1)，x＞1

，g（x）=x²-2x+2m-1．
∴当g（x）=（x-1）²+2m-2＜1时，即（x-1）²＜3-2m时，则y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|．
当g（x）=（x-1）²+2m-2＞1时，即（x-1）²＞3-2m时，则y=f（g（x））=log₂[（x-1）²+2m-3]．
①当3-2m≤0即m≥

3

2

时，y=m只与y=f（g（x））=log₂[（x-1）2+2m-3]的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去．
②当m＜

3

2

时，y=m与y=f（g（x））=log₂[（x-1）2+2m-3]的图象有两个交点，需要直线y=m与函数
y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|的图象有四个交点时才满足题意．
∴0＜m＜3-4m，又m＜

3

2

，解得0＜m＜

3

5

．
综上可得：m的取值范围是0＜m＜

3

5

．
故选A．

点评：本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．