Question

8．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．
（1）求角B的大小；
（2）若cosA=$\frac{1}{7}$，求$\frac{c}{a}$的值．

Answer 1

分析 （1）使用余弦定理将角化边得到a，b，c的关系代入余弦定理求出cosB；
（2）使用和角公式计算sinC，利用正弦定理可得$\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC}$．

解答 解：（1）∵2bcosC+c=2a，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{a}$+c=2a，∴a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$．
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵cosA=$\frac{1}{7}$，∴sinA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}×\frac{1}{2}+\frac{1}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$．
∴$\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．