Question

6．对于函数$f（x）=\sqrt{2}（sinx+cosx）$，给出下列四个命题：
①存在$α∈（-\frac{π}{2}，0）$，使$f（α）=\sqrt{2}$；
②函数f（x）的图象关于直线$x=-\frac{3π}{4}$对称；
③存在φ∈R，使函数f（x+ϕ）的图象关于坐标原点成中心对称；
④函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$就能得到y=-2cosx的图象．
其中正确命题的序号是②③．

Answer 1

分析 函数$f（x）=\sqrt{2}（sinx+cosx）$=2sin（x+$\frac{π}{4}$），依次对各结论考查可得答案．

解答 解：函数$f（x）=\sqrt{2}（sinx+cosx）$=2sin（x+$\frac{π}{4}$），
对于①：$α∈（-\frac{π}{2}，0）$，可得α+$\frac{π}{4}$∈（$-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$），不存在$f（α）=\sqrt{2}$；∴①不对．
对于②：函数f（x）的对称轴方程为：x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}+kπ$，可得x=$kπ+\frac{π}{4}$，当k=-1时，可得图象关于直线$x=-\frac{3π}{4}$对称．∴②对．
对于③：函数f（x+ϕ）=2sin（x+ϕ+$\frac{π}{4}$），当ϕ+$\frac{π}{4}$=kπ，即ϕ=$kπ-\frac{π}{4}$时，图象关于坐标原点成中心对称；
∴存在φ∈R，使函数f（x+ϕ）的图象关于坐标原点成中心对称；∴③对．
对于④：函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象向左平移$\frac{π}{4}$，可得：2sin（x$+\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=2cos2x，不能得到y=-2cosx的图象．∴④不对．
故答案为：②③．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．