Question

（本小题14分）如图，已知某椭圆的焦点是，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且，椭圆上不同的两点满足条件：、、成等差数列．

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）求弦中点的横坐标；

（Ⅲ）设弦的垂直平分线的方程为，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）中点的横坐标为；（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意及椭圆的定义可知，所求椭圆的焦点为，长轴为，再利用，进一步求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据椭圆的第二定义知，

，同时由成等差数列得到：，所以的中点坐标为；（Ⅲ）设带入椭圆方程利用点差法得到：再利用中点坐标公式和斜率公式，得到：（当时也成立）①，点在弦的垂直平分线上，得到②．联立①②，得到，又因为点在线段上，所以，进而求得的取值范围为：．

试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义及条件知，,得a=5,又c=4,

所以b==3．故椭圆方程为：．

（Ⅱ）由点在椭圆上，得．因为椭圆右准线方程为,离心率为，根据椭圆定义，有，

由、、成等差数列，得

,由此得出：．

设弦的中点为,则．

（Ⅲ）：由在椭圆上．

得

①－②得，

即9=0（x1≠x2）

将 （k≠0）代入上式，

得 即（当k=0时也成立）．

由点在弦的垂直平分线上，得,

所以．

由点在线段（与B关于x轴对称）的内部，得,所以

考点：1．椭圆的标准方程；2．中点坐标公式；3．点差法．