Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．
（1）求证：平面PAD⊥平面PGB
（2）若点E在BC边上，且$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BC}$，求平面PDC和平面PGE所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BG⊥AD，从而BG⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面PGB．
（2）以G为原点，分别以GB，GD，GP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PDC和平面PGE所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵在菱形ABCD中，∠DAB=60°
G为AD的中点，∴BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面PAD，
又BG?平面PGB，
∴平面PAD⊥平面PGB．
解：（2）∵BG⊥平面PAD，∴BG⊥AD，BG⊥PG，
∵△PAD是等边三角形，且G为AD的中点，∴PG⊥AD，
以G为原点，分别以GB，GD，GP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则G（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，1，0），
C（$\sqrt{3}，2，0$），设E（$\sqrt{3}$，y₀，0），
∵$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，∴${y}_{0}=\frac{1}{2}$，即E（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}，0$），
∴$\overrightarrow{PD}$=（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{GE}$=（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}，0$），
设平面PDC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=-1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
设平面PGE的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{GP}•\overrightarrow{m}=\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{GE}•\overrightarrow{m}=\sqrt{3}a+\frac{1}{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-2$\sqrt{3}$，0），
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1-6|}{\sqrt{5}×\sqrt{13}}$=$\frac{7\sqrt{65}}{65}$，
∴平面PDC和平面PGE所成的锐二面角的余弦值为$\frac{7\sqrt{65}}{65}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．