Question

4．已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表．f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

下列关于函数f（x）的命题说法正确的是（　　）

• A． 函数y=f（x）是周期函数
• B． 当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点
• C． 如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4
• D． 函数f（x）在[0，2]上是减函数

Answer 1

分析 根据函数的单调性和特殊值，可判断A的真假，
由f（x）=a，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）-a有几个零点，进而判断B的真假，
根据已知导函数的图象，及表中几个点的坐标，易分析出0≤t≤5，均能保证x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，进而判断C的真假，
根据已知导函数的图象，易分析出f（x）在[0，2]上的单调性，可判断D的真假；

解答 解：由图象不能判断y出f（x）是否为周期函数，故A不正确；
由f（x）=a，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）-a有几个零点，所以B不正确；
由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即C不正确；
由已知中y=f′（x）的图象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是减函数，即D正确；
故选：D．

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知，分析出函数的大致形状，利用图象分析函数的性质是解答本题的关键．