Question

已知等比数列{a_n}的前n项的和为S_n，a₁=1，a_n＜a_n+1，且S₃=2S₂+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=（2n-1）×a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）b_n=（2n-1）×a_n=（2n-1）×2^n-1，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁=1，且S₃=2S₂+1．
∴1+q+q²=2（1+q）+1，
化为q²-q-2=0，
解得q=-1或2．
∵a₁=1，a_n＜a_n+1，
∴q＞1．
∴q=2．
∴an=2n-1．
（2）b_n=（2n-1）×a_n=（2n-1）×2^n-1，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-T_n=1+2×2+2×2²+…+2^n-1-+（2n-1）×2ⁿ=

2×(2n-1)

2-1

-1-（2n-1）×2ⁿ=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ+3．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．