Question

已知函数在处取得极值，其中为常数．

（1）求的值；

（2）讨论函数的单调区间；

（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

 

Answer 1

(1)

(2)单调递减区间为，单调递增区间为

（3）或

【解析】

试题分析：(1)利用函数的极值与导数的关系；(2)解决类似的问题时，函数在极值点处的导数为零，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(3)恒成立的问题关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最值问题.(4)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

试题解析：【解析】
（1），，

∴，又，

∴； 5分

（2）（

∴由得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

∴单调递减区间为，单调递增区间为 9分

由（2）可知，时，取极小值也是最小值，

依题意，只需，解得或 10分

考点：（1）函数的导数与极值；（2）函数的导数与单调性；（3）函数恒成立的问题.