Question

12．已知函数f（x）=e^x-ax+b．
（1）若f（x）在x=2有极小值1-e²，求实数a，b的值．
（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，根据极值的意义得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；
（2）f（x）在R上单调递增，则f'（x）=e^x-a≥0恒成立，分离参数，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
若f（x）在x=2有极小值1-e²，
则$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）{=e}^{2}-a=0}\\{f（2）{=e}^{2}-2a+b=1{-e}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a{=e}^{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$；
（2）∵f（x）=e^x-ax+b，∴f'（x）=e^x-a，
∵f（x）在R上单调递增，
∴f'（x）=e^x-a≥0恒成立，
即a≤e^x，x∈R恒成立．
∵x∈R时，e^x∈（0，+∞），∴a≤0．
即a的取值范围为（-∞，0]．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导是关键．