Question

19．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，焦距为2，设点P（a，b）满足△PF₁F₂是等腰三角形．
（1）求该椭圆方程；
（2）过x轴上的一点M（m，0）作一条斜率为k的直线l，与椭圆交于点A，B两点，问是否存在常数k，使得|MA|²+|MB|²的值与m无关？若存在，求出这个k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，有$\left\{{\begin{array}{l}{2c=2}\\{{{（a-1）}^2}+{b^2}=4}\end{array}}\right.$，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得：（3+4k²）x²-8k²mx+4m²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件推导出|MA|²+|MB|²=7与m无关符合题意．

解答 （本题15分）
解：（Ⅰ）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，焦距为2，
设点P（a，b）满足△PF₁F₂是等腰三角形，
∴根据题意，有$\left\{{\begin{array}{l}{2c=2}\\{{{（a-1）}^2}+{b^2}=4}\end{array}}\right.$…（4分）
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，
故所求椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（6分）
（Ⅱ）联立方程：$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²mx+4m²-12=0
在△＞0的情况下有：$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}m}}{{3+4{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}}\end{array}}\right.$…（9分）
$\begin{array}{l}|MA{|^2}+|MB{|^2}=（1+{k^2}）[{（{x_1}-m）^2}+{（{x_2}-m）^2}]\\=（1+{k^2}）[{（{x_1}+{x_2}）^2}-2{x_1}{x_2}-2m（{x_1}+{x_2}）+2{m^2}]\\=\frac{{（1+{k^2}）}}{{{{（3+4{k^2}）}^2}}}[（-24{k^2}+18）{m^2}+96{k^2}+72]\end{array}$
令-24k²+18=0，得${k^2}=\frac{3}{4}$，即$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（13分）
此时|MA|²+|MB|²=7与m无关符合题意，…（15分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．