题目内容
2．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{6}$；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．
分析 （Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．
解答 解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元．…（2分）
都付0元的概率为P1=$\frac{1}{4}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$，
都付40元的概率为P2=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
都付80元的概率为P3=（1-$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{6}-\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{24}$，
故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=$\frac{5}{12}$．
（Ⅱ）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0，40，80，120，160，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$，
P（ξ=40）=$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{6}$=$\frac{3}{12}$，
P（ξ=80）=$\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{6}-\frac{2}{3}）+（1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}）×\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{10}{24}$，
P（ξ=120）=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{6}-\frac{2}{3}）$+$\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{12}$，
P（ξ=160）=（1-$\frac{1}{6}-\frac{2}{3}$）（1-$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{24}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 40 | 80 | 120 | 160 |
| P | $\frac{1}{24}$ | $\frac{3}{12}$ | $\frac{10}{24}$ | $\frac{3}{12}$ | $\frac{1}{24}$ |
点评 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
如图，点C是半径为2的圆的劣弧$\widehat{AB}$的中点，连接AC并延长到点D，使得CD=AC，连接DB并延长交圆于点E，若AC=2，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AE}$的值为4．| A． | 16种 | B． | 14种 | C． | 12种 | D． | 10种 |
| A． | $\frac{π}{2}$ | B． | π | C． | 2π | D． | 4π |