Question

某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间（秒）的变化规律大致可用（为时间参数，的单位：）来描述，其中地面可作为轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为轴。

（Ⅰ）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；

（Ⅱ）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？

Answer 1

【解析】：（1）当时，

因时，，故，

从而当，即当时，有最大值5，

所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是；                      ……6分

（2）设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，依题意得：，（）

问题转化为在，的条件下，求的最大值。 …8分

法一：，由和及得：                               ………12分

法二：∵，，

=

∴当，即，_，由可解得：。 

答：花坛的长为，宽为，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求。  ……………13分