Question

9．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点（0，1），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A，B两点，将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意解出a，b即可；
（2）利用弦长公式把|AB|表示出来，然后利用基本不等式求解．

解答 解：（1）∵过点（0，1），∴b=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
   解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）设l的方程x=py+m（m≤-1，m≥1，p=$\frac{1}{k}$），
d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{p}^{2}}}$，∴m²=p²+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=py+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，∴（p²+4）y²+2pmy+m²-4=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2pm}{{p}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{m}^{2}-4}{{p}^{2}+4}}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{p}^{2}}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{|m|+\frac{3}{|m|}}$$≤\frac{4\sqrt{3}}{2|m|\frac{3}{|m|}}$=2，
所以|AB|的最大值为2．

点评 本题主要考查椭圆的标准方程和弦长公式，属于中档题