Question

6．在圆x²+y²=4上任取一点P，过P作x轴的垂线段，D为垂足，当点P在圆上运动时，记线段PD中点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设$A（{-\sqrt{3}，0}），B（{\sqrt{3}，0}）$，试判断（并说明理由）轨迹C上是否存在点Q，使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点M（x，y），P（x₀，y₀），则D（x₀，0），由于点M为线段的PD中点，推出P的坐标代入圆的方程求解即可．
（Ⅱ）轨迹C上存在点Q，使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立，方法一：假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$．得到a，b关系式，又Q（a，b）在$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上，然后求解a，b 说明存在$Q（{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，±\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$或$Q（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，±\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立．
方法二：由（Ⅰ）知轨迹C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$，
即以AB为直径的圆与椭圆要有交点，则必须满足c≥b，得到结论．

解答 解：（Ⅰ）设点M（x，y），P（x₀，y₀），则D（x₀，0），由于点M为线段的PD中点
则$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=x\\{y_0}=2y.\end{array}\right.$即点P（x，2y）…（3分）
所以点P在圆x²+y²=4上，即x²+4y²=4，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（6分）
（Ⅱ）轨迹C上存在点Q，使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立．…（7分）
方法一：假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$．
因为$\overrightarrow{AQ}=（{a+\sqrt{3}，b}）$，$\overrightarrow{BQ}=（{a-\sqrt{3}，b}）$，所以$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}={a^2}-3+{b^2}=0$…①
…（9分）
又Q（a，b）在$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上，所以$\frac{a^2}{4}+{b^2}=1$…②…（10分）
联立①②解得$a=±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
即存在$Q（{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，±\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$或$Q（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，±\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$成立．…（12分）
方法二：由（Ⅰ）知轨迹C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，焦点恰为$A（{-\sqrt{3}，0}），B（{\sqrt{3}，0}）$，$c=\sqrt{3}，b=1$．
…（8分）
假设轨迹C上存在点Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$，
即以AB为直径的圆与椭圆要有交点，…（10分）
则必须满足c≥b，这显然成立，
即轨迹C上存在点Q（a，b），使得$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BQ}=0$．…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．