Question

19．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AC=BD，平面PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）在△PAD中，AP=2，AD=2$\sqrt{3}$，PD=4，三棱锥E-ACD的体积是$\sqrt{3}$，求二面角D-AE-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结EO，则EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）推导出PA⊥AD．则PA⊥平面ABC，以A为坐标原点，$\overrightarrow{AB}$的方向为x轴的正方向，$|{\overrightarrow{AP}}|$为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角D-AE-C的大小．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD交AC于点O，连结EO．
∵ABCD是平行四边形，∴O为BD的中点．
又E为PD的中点，∴EO∥PB．
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC．
解：（Ⅱ）∵在△PAD中，$AP=2，AD=2\sqrt{3}，PD=4$，
∴AP²+AD²=PD²，∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，
在平行四边形ABCD中，AC=BD，∴ABCD为矩形，
∴AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，$\overrightarrow{AB}$的方向为x轴的正方向，$|{\overrightarrow{AP}}|$为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz，
∵E为PD的中点，∴三棱锥E-ACD的高为$\frac{1}{2}$，
设AB=m（m＞0），三棱锥E-ACD的体积$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×m×1=\sqrt{3}$，解得m=3=AB．
则$A（0，0，0），D（0，2\sqrt{3}，0），E（0，\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{AE}=（0，\sqrt{3}，1）$，
设B（3，0，0）（m＞0），则$C（3，2\sqrt{3}，0），\overrightarrow{AC}=（3，2\sqrt{3}，0）$．
设$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$为平面ACE的法向量，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{3{x_1}+2\sqrt{3}{y_1}=0}\\{\sqrt{3}{y_1}+{z_1}=0}\end{array}}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n_1}=（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，-1，\sqrt{3}）$．
又$\overrightarrow{n_2}=（1，0，0）$为平面DAE的法向量，
由题设$|{cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}|}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}}{{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}}}=\frac{1}{2}$，
即二面角D-AE-C的大小是60°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．