Question

5．在△ABC中，已知$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=2，三角形的面积为2$\sqrt{2}$，
（1）求角cosB；
（2）求边b的最小值；
（3）若sinC=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，求a和c的值．

Answer 1

分析 （1）根据数量积运算公式和面积运算公式可求得tanB，进而求出cosB；
（2）利用基本不等式和余弦定理得出b²的最小值；
（3）使用面积公式可求出ab=9，结合（2）中的ac=6可得出$\frac{c}{b}$．使用正弦定理解出a，b，c．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=2，∴AB×BC×cosB=2，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}AB×BC×sinB$=2$\sqrt{2}$，∴AB×BC×sinB=4$\sqrt{2}$．
∴tanB=2$\sqrt{2}$．即sinB=2$\sqrt{2}$cosB．∴B为锐角．
∵sin²B+cos²B=1，∴9cos²B=1，∴cosB=$\frac{1}{3}$．
（2）由（1）知ac=6．∴a²+c²≥2ac=12．
由余弦定理的b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-4≥8．
∴b的最小值为$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$．
（3）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=2$\sqrt{2}$，∴ab=9．
∵sinC=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，cosB=$\frac{1}{3}$，∴cosC=$\frac{7}{9}$，sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴A=B，即a=b，∴a=3，c=2．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，正余弦定理及解三角形，属于基础题．