Question

13．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）求三棱锥C-DD₁E的体积；
（2）求证：D₁E⊥A₁D．

Answer 1

分析 （1）V${\;}_{C-D{D}_{1}E}$=V${\;}_{{D}_{1}-CDE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•D{D}_{1}$；
（2）连结AD₁，通过证明A₁D⊥平面AD₁E得出D₁E⊥A₁D．

解答 解（1）由长方体性质可得，DD₁⊥平面DEC，
所以DD₁是三棱锥D₁-DCE的高，
∴三棱锥D₁-DCE的体积V=V${\;}_{{D}_{1}-CDE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•D{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{1}{3}$．
（2）连结AD₁，
因为A₁ADD₁是正方形，所以AD₁⊥A₁D，
又AE⊥面ADD₁A₁，A₁D?面ADD₁A₁，
所以AE⊥A₁D，
又AD₁∩AE=A，AD₁，AE?平面AD₁E，
所以A₁D⊥平面AD₁E，
而D₁E?平面AD₁E，
所以D₁E⊥A₁D．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于基础题．