Question

6．如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=$\sqrt{2}$．
（1）证明：DE⊥平面ACD；
（2）求棱锥C-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）利用梯形的性质求出BC，利用勾股定理得出AC⊥BC，于是AC⊥平面BCDE，得出AC⊥DE，又DE⊥CD得出DE⊥平面BCDE；
（2）V_C-ABD=V_A-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•AC．

解答 解：（1）在直角梯形BCDE中，
∵DE=BE=1，CD=2，∴BC=$\sqrt{（2-1）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
又AB=2，AC=$\sqrt{2}$，
∴AB²=AC²+BC²，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AC?平面ABC，
∴AC⊥平面BCDE，又DE?平面BCDE，
∴AC⊥DE，又DE⊥DC，AC∩CD=C，
∴DE⊥平面ACD．
（2）V_C-ABD=V_A-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•AC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定定理，棱锥的体积计算，属于中档题．