Question

1．已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，若a=1，$\frac{3}{2}$sin²B+$\frac{7}{2}$sin²C-sin²A=sinAsinBsinC，则R的值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理可化$\frac{3}{2}$sin²B+$\frac{7}{2}$sin²C-sin²A=sinAsinBsinC为$\frac{3}{2}$b²+$\frac{7}{2}$c²-a²=bcsinA，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，化为：2（sinA-2cosA）=$\frac{b}{c}$+$\frac{5c}{b}$，再利用基本不等式的性质得出sinA，即可求出R．

解答 解：由正弦定理可化$\frac{3}{2}$sin²B+$\frac{7}{2}$sin²C-sin²A=sinAsinBsinC为$\frac{3}{2}$b²+$\frac{7}{2}$c²-a²=bcsinA，
再由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，代入上式可得：
2（sinA-2cosA）=$\frac{b}{c}$+$\frac{5c}{b}$≥2$\sqrt{5}$，当且仅当b=$\sqrt{5}$c时取等号．
即2$\sqrt{5}$sin（A-θ）≥2$\sqrt{5}$，其中tanθ=2．
即sin（A-θ）≥1，又sin（A-θ）≤1，
∴sin（A-θ）=1．
∴A-θ=$\frac{π}{2}$+2kπ，即A=θ+$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈N^*．
∴tanA=tan（θ+$\frac{π}{2}$+2kπ）=tan（θ+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{tanθ}$=$\frac{1}{2}$，
∴A∈（0，π），sinA=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵a=1，
∴2R=$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}$=$\sqrt{5}$，
∴R=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．