Question

14．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，经过双曲线的右焦点F（2，0）作一条直线分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，且|AB|=12，则该直线的斜率为$±\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由题意求出双曲线的标准方程，设出直线的点斜式方程，然后联立方程组消去y得x的方程，利用|AB|=12，建立方程，即可求直线的斜率．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{n}$=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，右焦点F（2，0），
∴c=2，a=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
设直线方程为y=k（x-2），代入${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，整理可得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}）^{2}-4×\frac{4{k}^{2}+3}{{k}^{2}-3}}$=12，
∴k=$±\sqrt{7}$．
故答案为：$±\sqrt{7}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，综合性强．