Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=（λ+1）S_n+1（n∈N^*，λ≠-2），且3a₁，4a₂，a₃+13成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足a_nb_n=log₄a_n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）讨论可判断出数列{a_n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，从而结合8a₂=3a₁+a₃+13可得λ²-4λ+4=0，从而解得；
（Ⅱ）化简可得b_n=$\frac{n}{{4}^{n-1}}$，从而可得T_n=1+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+…+$\frac{n}{{4}^{n-1}}$，$\frac{1}{4}$T_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{n}{{4}^{n}}$，利用错位相减法求其前n项和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=（λ+1）S_n+1，
∴当n≥2时，a_n=（λ+1）S_n-1+1，
∴a_n+1-a_n=（λ+1）a_n，
即a_n+1=（λ+2）a_n，
又∵λ≠-2，
∴数列{a_n}是以1为首项，λ+2为公比的等比数列，
故a₂=λ+2，a₃=（λ+2）²，
∵3a₁，4a₂，a₃+13成等差数列，
∴8a₂=3a₁+a₃+13，
代入化简可得，
λ²-4λ+4=0，
故λ=2，
故a_n=4^n-1；
（Ⅱ）∵a_nb_n=log₄a_n+1=n，
∴b_n=$\frac{n}{{4}^{n-1}}$，
故T_n=1+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+…+$\frac{n}{{4}^{n-1}}$，
$\frac{1}{4}$T_n=$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{n}{{4}^{n}}$，
故$\frac{3}{4}$T_n=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}$-$\frac{n}{{4}^{n}}$
=$\frac{4}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）-$\frac{n}{{4}^{n}}$，
故T_n=$\frac{16}{9}$-$\frac{4+3n}{9×{4}^{n-1}}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了错位相减法的应用．