Question

设x₁x₂是关于x的一元二次方程x²-2（m-1）x+m+1=0的两个实根，又y=x₁²+x₂²．
（1）求y=f（m）的解析式；
（2）求y=f（m）的值域．

Answer 1

分析：由题意可得x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m+1，而由△≥0，可得m≥3或m≤0．由于y=(x1+x2)2-2x1x2=4(m-

5

4

)2-

m

4

，利用二次函数的性质以及m的范围可得的值域．

解答：解：∵x₁，x₂是于x的一元二次方程，x²-2（m-1）x+m+1=0的两个根，
∴x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m+1，
而△=4（m-1）²-4（m-1）≥0，m²-3m≥0，…（5分）∴m≥3或m≤0．
y=(x1+x2)2-2x1x2=4（m-1）²-2（m+1）=4m²-10m+2=4(m-

5

4

)2-

m

4

，…（10分）
∵m≥3或m≤0，∴

y

min

=2．
∴y的值域[2，+∞）．…（14分）

点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质的应用，属于中档题．