Question

（2013•枣庄二模）已知数列{a_n}的前n项和Sn=

1

2

anan+1，n∈N*，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=an+

2

(n∈N*)，求证：数列{b_n}中任意的三项都不可能成为等比数列．

Answer 1

分析：（1）先利用条件，得出数列{a_n}的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列，再求数列{a_n}的通项公式；
（2）求得b_n，假设数列{b_n}中存在三项b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比数列，则根据等比中项的性质可知b_q²=b_pb_r．把b_p，b_q，b_r代入求得p=q=r，矛盾，即可证得结论．

解答：（1）解：由题意，S1=

1

2

a1a2，a₁=1，∴a₂=2．
∵Sn=

1

2

anan+1，∴n≥2时，Sn-1=

1

2

an-1an
两式相减可得an=

1

2

an（a_n+1-a_n-1）
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2
∴数列{a_n}的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列，
∴a_2n=a₂+2（n-1）=2n，a_2n-1=a₁+2（n-1）=2n-1
∴a_n=n；
（2）证明：bn=an+

2

=n+

2

假设数列{b_n}中存在三项b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比数列，则b_q²=b_pb_r．
∴(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)
∴

2

(2q-p-r)=pr-q2
∴2q-p-r=0，pr-q²=0
∴(

p+r

2

)2=pr
∴（p-r）²=0
∴p=r
∴p=q=r，这与p，q，r互不相等矛盾
∴假设不成立
∴数列{b_n}中任意的三项都不可能成为等比数列．

点评：本题考查数列的通项，考查反证法的运用，解题的关键是确定数列的通项，正确运用反证法．